Question

已知函数（，常数）．

（1）当时，讨论函数的奇偶性并说明理由；

（2）若函数在区间上单调，求正数的取值范围；

（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）函数是偶函数，详见解析

（2）正数的取值范围为

（3）实数的取值范围为

【解析】

(1)利用定义法求的单调性;

(2)根据复合函数单调性性质,原题可以转变为在区间上单调,从而研究的单调性,即可得出结论;

(3)当时,不等式恒成立,当时,将题设不等式转化为对任意恒成立,然后分别确定的最大值和最小值即可得出结论.

(1)当时,,是偶函数,理由如下:

的定义域为,而,

因此当时是偶函数;

(2)令(),

因为在区间上单调,且在定义域上单调递增,

所以在区间上单调,

又,

其单调递减区间为,

所以,即;

(3)不等式对任意恒成立,

即对任意恒成立,

①当时,不等式恒成立;

②当时,则有对任意恒成立,

设,则其在上单调递增,故,

设,则其在上单调递减,故,

所以;

综上所述,实数的取值范围为.