Question

若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为(   )

A.  B.  C.  D.

Answer

D

【解析】

利用导数研究函数在上的单调性，当时，在上为增函数，

且，即可判断其没有零点，不符合条件；当时，在上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当趋于时，趋于，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定的范围.

因为函数，

所以

令，因为，

当 时，，所以

所以在上为增函数，则，

当时，，所以，所以在上为增函数，

则，所以在上没有零点.

当时，即，因为在上为增函数，则存在唯一的，使得，且当时，，当时，；

所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，当时，，

因为，当趋于时，趋于，

所以在内，一定存在一个零点.

所以，

故答案选D.