Question

过点作直线与双曲线交于两点，使点为的中点，则这样的直线（    ）

A.存在一条，且方程为 B.存在无数条

C.存在两条，且方程为 D.不存在

Answer

D

【解析】

分当直线的斜率不存在时，将直线方程为 代入，得 ，与双曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为代入，得，分和两种情况讨论求解.

当直线的斜率不存在时，直线方程为 代入，

得 ，与双曲线只有一个交点，不符合题意.

当直线的斜率存在时，设直线方程为，

代入，得，

当时，直线 与双曲线只有一个交点，不符合题意.

当时，因为点为的中点，

由韦达定理得 ，

解得

而当时，，

所以直线与双曲线不相交.

故选：D