Question

已知双曲线的两焦点为，为动点，若.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）若，设直线过点，且与轨迹交于两点，直线与交于点.试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

Answer

（1）；（2）是，

【解析】

（1）根据，且，由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，再求出 ，写出方程.

（2）先设直线的方程为，如果存在，则对任意 都成立，首先取特殊情况，当时，探究出该直线为，再通过一般性的证明即可.

（1）双曲线的两焦点为，

设动点 ，

因为，且 ，

所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆.

因为 ，

所以的轨迹方程；.

（2）由题意设直线的方程为，

取 ，得，

直线 的方程是，

直线的方程是，

交点为 .

若，由对称性可知：交点为.

若点在同一条直线上，则该直线只能为.

以下证明 对任意的，直线与交点均在直线上.

由得 ，

设，

由韦达定理得：

设直线与交点为 ，

由 ，

得.

设直线与 交点为 ，

由 ，

得，

因为，

.

所以与重合.

所以当直线在变化时，点恒在直线上.