Question

已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，，是的中点.

（1）证明：面面；

（2）求与夹角的余弦值；

（3）求面与面所成二面角余弦值的大小.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）证明面面，只需证明平面内的直线垂直于平面内的相交直线即可；（2）建立空间直角坐标系，求得，，利用向量所成的角，即可求解异面直线与夹角的余弦值；（3）作在上取一点，则存在，使，得，.所以为所求二面角的平面角，即可利用向量所成角的公式，求解面与面所成二面角余弦值的大小.

证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，

（1）证明：因，，故，所以.

由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面，

又在面上，故面面.

（2）【解析】
因，，

故，，，

所以.

（3）【解析】
在上取一点，则存在，使，

，，∴，，.

要使，只需，即，解得.

可知当时，点坐标为，能使.

此时，，，有.

由，，得，.

所以为所求二面角的平面角.

∵，，，

∴

面与面所成二面角余弦值的大小为