Question

已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换，可得 ，结合范围，可求的值．

（Ⅱ）方法1：由余弦定理，基本不等式可得，利用三角形的面积公式即可求解；方法2：由正弦定理可得，，并将其代入可得，然后再化简，根据正弦函数的图象和性质即可求得面积的最大值．

【解析】
（I）因为，

由正弦定理可得：，

所以

所以，

即 ，

，所以，

可得：

，所以，

所以，可得：

（II）方法1：由余弦定理得：，

得， 所以

当且仅当时取等号，

所以△ABC面积的最大值为

方法2：因为，

所以，，

所以，

所以，

当且仅当，即，当时取等号.

所以△ABC面积的最大值为.