Question

已知数列的前项和为，满足且，数列的前项为，满足

（Ⅰ）设，求证：数列为等比数列；

（Ⅱ）求的通项公式；

（Ⅲ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）对递推公式变形可得，根据等比数列的定义，即可得证；

（Ⅱ）化简可得，然后再利用裂项相消法求和，即可得到结果；

（Ⅲ）先求出，然后再利用分组求和求出，然后再利用分离常数法，可得，最后对进行分类讨论，即可求出结果．

【解析】
（Ⅰ）由得，变形为：，

，且

∴数列是以首项为2，公比为的等比数列

（Ⅱ）由

；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知数列是以首项为2，公比为的等比数列

∴，于是

∴=，由得

从而 ， ∴

当n为偶数时，恒成立，而，∴1

当n为奇数时，恒成立，而，∴

综上所述，，即的最大值为