Question

如图在△AOB中，∠AOB=90°，AO=2，OB=1，△AOC可以通过△AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB⊥OC，点D为斜边AB的中点.

（1）求异面直线OB与CD所成角的余弦值；

（2）求直线OB与平面COD所成角的正弦值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系, 求出异面直线与的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.

（2）先求出平面的法向量,然后运用公式求出直线与平面所成角的正弦值.

（1）以O为原点,OC为x轴,OB为y轴,OA为z轴,建立空间直角坐标系,

O（0,0,0）,B（0,1,0）,C（1,0,0）,A（0,0,2）,D（0,,1）,

（0,1,0）,（﹣1,）,

设异面直线OB与CD所成角为θ,

则cosθ,

∴异面直线OB与CD所成角的余弦值为.

（2）（0,1,0）,（1,0,0）,（0,,1）,

设平面COD的法向量（x,y,z）,

则,取,得（0,2,﹣1）,

设直线OB与平面COD所成角为θ,

则直线OB与平面COD所成角的正弦值为:

sinθ.