Question

已知圆的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.

（1）若，求点P的坐标；

（2）求证：经过A，P，三点的圆必经过异于的某个定点，并求该定点的坐标.

Answer

（1）和；（2）和

【解析】

（1）设，连接，分析易得，即有，解得的值，即可得到答案.

（2）根据题意，分析可得：过A，P，三点的圆为以为直径的圆，设的坐标为

，用表示过A，P，三点的圆为，结合直线与圆的位置关系，分析可得答案.

（1）根据题意，点P在直线l上，

设，连接，

因为圆的方程为，

所以圆心，半径，

因为过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B；

则有，且，

易得，

又由，即，

则，即有，

解得或，即的坐标为和.

（2）根据题意，是圆的切线，则，

则过A，P，三点的圆为以为直径的圆，

设的坐标为，，

则以为直径的圆为，

变形可得：，

即，

则有，解得或，

则当和，时，恒成立，

则经过A，P，三点的圆必经过异于的某个定点，

且定点的坐标和.