Question

如图，三棱柱中，，D为AB上一点，且平面.

（1）求证：；

（2）若四边形是矩形，且平面平面ABC，直线与平面ABC所成角的正切值等于2，，，求三楼柱的体积.

Answer

（1）见详解；（2）

【解析】

（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理可得，从而可得为的中点，进而可证出

（2）利用面面垂直的性质定理可得平面，从而可得三棱柱为直三棱柱，在中，根据等腰三角形的性质可得，进而可得棱柱的高为，利用柱体的体积公式即可求解.

（1）连接交于点，连接，如图：

由平面，且平面平面,

所以，由为的中点，

所以为的中点，

又，

（2）由四边形是矩形，且平面平面ABC，

所以平面，即三棱柱为直三棱柱，

在中，，，，

所以，

因为直线与平面ABC所成角的正切值等于2，

在中，，所以.

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