Question

在直角坐标系中，点，圆的圆心为，半径为2.

（Ⅰ）若，直线经过点交圆于、两点，且，求直线的方程；

（Ⅱ）若圆上存在点满足，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）或.（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）勾股定理求出圆心到直线的距离d，利用d=1以直线的斜率存在、不存在两种情况进行分类讨论；（Ⅱ）设，由求出x、y满足的关系式，可得点在圆上，推出圆与圆有公共点，所以，列出不等式求解即可.

（Ⅰ）当，圆心为，

圆的方程为，

设圆心到直线的距离为，则.

①若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，

，解得，

此时的方程为，即.

②若直线的斜率不存在，直线的方程为，验证满足，符合题意.

综上所述，直线的方程为或.

（Ⅱ）设，则，

于是

由得，即，

所以点在圆上，又点在圆上，

故圆与圆有公共点，即,

于是，解得，

因此实数的取值范围是.