Question

2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，，…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．

（1）现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望；

（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为．当最大时，求的值．

Answer

（1）分布列见解析,

（2）

【解析】

（1）根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；的可能取值为0，1，2，由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望.

（2）先求得年龄在内的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出，令，化简后可证明其单调性及取得最大值时的值．

（1）按分层抽样的方法拉取的8人中，

年龄在的人数为人，

年龄在内的人数为人．

年龄在内的人数为人．

所以的可能取值为0，1，2．

所以，

，

，

所以的分市列为

0

1

2

．

（2）设在抽取的20名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，

所以，

所以．

设，

若，则，；

若，则，．

所以当时，最大，即当最大时，．