Question

（本题满分16分）已知，，都是各项不为零的数列，且满足，，其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．

（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；

（2）若（是不为零的常数），求证：数列是等差数列；

（3）若（为常数，）， ，求证：对任意的，数列单调递减．

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析；

【解析】

试题（1）由已知条件可化得数列的前和，再作差求得通项，要注意分类讨论；（2）与（1）的思路相同，利用和作差，得到项之间的关系式，进而表示出数列的通项，利用等差数列的定义进行证明，还应注意补充说明；（3）由（2）中和作差后的通项间的关系式可推得与的关系式，则证得从第2项起成等比数列，求得其通项公式，同时也求得数列从第二项起是等差数列，所以从第2项起为差比数列，通过作差或作商可以研究它的单调性；

试题解析：（1）因为，，所以，

因为数列是各项不为零的常数列，所以，，

则由及得，

当时，，两式相减得，

当时，，也满足，故．

（2）因为，

当时，，两式相减得，

即，，即，

又，所以，

即，

所以当时，，两式相减得 ，

所以数列从第二项起是公差为等差数列；

又当时，由得，

当时，由得，

故数列是公差为等差数列．

（3）由（2）得当时，，即，

因为，所以，即，所以，即，

所以，

当时，，两式相减得，

即，故从第二项起数列是等比数列，

所以当时，，

，

另外由已知条件得，又，，，

所以，因而，令 ，则 ，

因为，所以，所以对任意的，数列单调递减．