Question

    已知函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在上的最小值；

（Ⅲ）若函数，当时，的最大值为，求证：.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】

试题（Ⅰ）由题，

所以故，，代入点斜式可得曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）由题

（1）当时，在上单调递增. 则函数在上的最小值是

（2）当时，令，即，令，即

（i）当，即时，在上单调递增，

所以在上的最小值是

（ii）当，即时，由的单调性可得在上的最小值是

（iii）当，即时，在上单调递减，在上的最小值是

（Ⅲ）当时，

令，则是单调递减函数.

因为，，

所以在上存在，使得，即

讨论可得在上单调递增，在上单调递减.

所以当时，取得最大值是

因为，所以由此可证

试题解析：（Ⅰ）因为函数，且，

所以，

所以

所以，

所以曲线在处的切线方程是，即

（Ⅱ）因为函数，所以

（1）当时，，所以在上单调递增.

所以函数在上的最小值是

（2）当时，令，即，所以

令，即，所以

（i）当，即时，在上单调递增，

所以在上的最小值是

（ii）当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的最小值是

（iii）当，即时，在上单调递减，

所以在上的最小值是

综上所述，当时，在上的最小值是

当时，在上的最小值是

当时，在上的最小值是

（Ⅲ）因为函数，所以

所以当时，

令，所以是单调递减函数.

因为，，

所以在上存在，使得，即

所以当时，；当时，

即当时，；当时，

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以当时，取得最大值是

因为，所以

因为，所以

所以