Question

如图，某野生保护区监测中心设置在点处，正西、正东、正北处有三个监测点，且，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒（注：信号每秒传播千米）.

（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；

（2）若已知点与点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心的距离；

（3）若点监测点信号失灵，现立即以监测点为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径至少是多少公里？

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可；

（2）垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；

（3）根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可.

（1）设观察员可能出现的位置的所在点为

因为点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒

故

故点的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为

由题可知，解得，

故点的轨迹方程为.

（2）因为，设的垂直平分线方程为

则，则的垂直平分线方程为

联立可得，故

故观察员遇险地点坐标为

与检测中心的距离为.

（3）设轨迹上一点为，

则

又因为，可得

代入可得：

当且仅当时，取得最小值.

故扫描半径至少是.