Question

已知函数，.

（1）若函数在其定义域内是单调函数，求实数的取值范围；

（2）若函数的最大值是2，求实数的值；

（3）求函数的最小值.

Answer

（1）或；（2）3或；（3）当时，最小值；当时，最小值

【解析】

的图象开口向下，对称轴，

（1）若函数在其定义域内是单调函数，根据对称轴不在已知区间内，列出不等式解出即可；

（2）分类讨论，考虑对称轴与已知区间的三种情况进行讨论，根据单调性求出最值的表达式，解出即可；

（3）结合端点0，1与对称轴的远近及开口方向进行求解.

的图象开口向下，对称轴

（1）若函数在其定义域内是单调函数，

或；

（2）①当时，函数在其定义域内是单调递增，

当时函数有最大值

；

②时，函数在其定义域内是单调递减

当时函数有最大值

，

③时，函数在其定义域内先增后减，

当时函数有最大值，

解可得，或，经检验均不符合题意，

综合可得的值为3或.

（3）①若即时，时，函数取得最小值，

②若即时，时，函数取得最小值.

即当时，最小值；当时，最小值.