Question

若，设其定义域上的区间（）.

（1）判断该函数的奇偶性，并证明；

（2）当时，判断函数在区间（）上的单调性，并证明；

（3）当时，若存在区间（），使函数在该区间上的值域为，求实数的取值范围.

Answer

（1）奇函数，证明见解析；（2）在（）为增函数，证明见解析；（3）

【解析】

（1）首先求出函数的定义域，再根据定义法证明函数的奇偶性；

（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

（3）由（1）得，当时，在为减函数，故若存在定义域，，使值域为，则有，从而问题可转化为，是方程的两个解，进而问题得解．

【解析】
（1）因为

由解得或，即的定义域为，关于原点对称．

为奇函数.

（2）在（）为增函数；

证明：的定义域为，则．

设，，则，且，，

，

即，

因为时，所以，即，

所以在（）为增函数．

（3）由（1）得，当时，在（）为递减函数，

若存在定义域（），使值域为，

则有

，是方程在上的两个相异的根，

即，

即在上的两个相异的根，

令，

则在有2个零点，

解得

即当时，，

当时，方程组无解，即（）不存在．