Question

已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

Answer

（1）．（2）．（3）．

【解析】

试题（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.

试题解析：（1）由，得，解得．

（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0．

即log2（a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，

即a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①

则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，

即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，

当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立

当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立

当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x，

若x＝﹣1是方程①的解，则a＝a﹣1＞0，即a＞1，

若x是方程①的解，则a＝2a﹣4＞0，即a＞2，

则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．

综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，

则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝4．

（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，

由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，

即log2（a）﹣log2（a）≤1，

即a≤2（a），即a

设1﹣t＝r，则0≤r，

，

当r＝0时，0，

当0＜r时，，

∵y＝r在（0，）上递减，

∴r，

∴，

∴实数a的取值范围是a．

【一题多解】

（3）还可采用：当时，，，

所以在上单调递减．

则函数在区间上的最大值与最小值分别为，．

即，对任意成立．

因为，所以函数在区间上单调递增，

时，有最小值，由，得．

故的取值范围为．