Question

已知过原点的动直线与圆:相交于不同的两点，.

（1）求圆的圆心坐标；

（2）求线段的中点的轨迹的方程；

（3）是否存在实数，使得直线:与曲线只有一个交点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（1）（2）（3）存在，

【解析】

（1）将圆的一般方程整理为标准方程，由此得到圆心坐标；

（2）当直线斜率不存在，与圆无交点，可知斜率存在，设，将直线方程与圆的方程联立，由可确定的范围，并得到韦达定理的形式，从而利用表示出中点坐标，消去后即可得到轨迹方程；结合的范围可确定的范围，从而得到所求轨迹方程；

（3）由（2）可得的图象，并确定直线所过的定点；由数形结合的方式可求得结果.

（1）圆:的方程整理得其标准方程：

圆的圆心坐标为

（2）当直线斜率不存在时，方程为，与圆无交点，不合题意

直线斜率存在，设

由得：

则，解得：

设，，中点

则，

消去参数得中点轨迹方程为：

轨迹的方程为：

（3）由（2）知：曲线是圆上的一段劣弧（如图，不包括两个端点），且，

直线:过定点

直线:与圆相切时，与没有公共点

又，

当时，直线:与曲线只有一个交点