Question

已知椭圆C：的离心率为，过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点，，过点的任意一条直线与椭圆交于，两点，求证：.

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）根据过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，得到，根据离心率得到，结合，得到，的值，从而得到椭圆方程；

（2）将问题转化为证明证明，易得直线的斜率不存在时结论成立，直线的斜率存在时，直线的方程为，与椭圆联立，得到，，表示出，，再进行计算，得到，从而证明.

（1）因为，令，得，

因为过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，

所以，

根据离心率为，得，

结合，

解得，，

所以椭圆的方程为.

（2）要证明，只需证明，

过，分别作轴的垂线段，，易得：，

所以只需证明，

所以只需证明，只需证明.

当直线的斜率不存在时，易得.

当直线的斜率存在时，不妨设其为，则直线的方程为，

联立消去y，得，

设，，则，，

直线的斜率，直线的斜率，

.

综上所述，.