Question

已知函数

（1）求的单调区间；

（2）过点存在几条直线与曲线相切，并说明理由；

（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）增区间为，，单调减区间为；（2）三条切线，理由见解析；（3）

【解析】

（1）对求导，分别令，，得到的单调区间；

（2）设切点坐标为，利用导数得切线斜率，表示出切线方程，代入过点，得到的方程，解出的值，从而得到结论；

（3）设，分为，，进行讨论，易得，时的情况，当时，易得时成立，时，令，利用导数，得到，从而得到的范围.

（1），

得，或；

得，；

所以的单调增区间为，；单调减区间为；

（2）过点可做的三条切线；理由如下：

设切点坐标为，

所以切线斜率

所以过切点的切线方程为：，

切线过点，代入得，

化简得，

方程有三个解，，，，即三个切点横坐标，

所以过点可做的三条切线.

（3）设，

①时，因为，，所以显然对任意恒成立；

②时，若，则不成立，

所以不合题意.

③时，时，显然成立，

只需考虑时情况；

转化为对任意恒成立

令（），

则，

，

当时，，单调减；

当时，，单调增；

所以，

所以.

综上所述，的取值范围.