Question

如图，在四棱锥中，，底面四边形为直角梯形，为线段上一点．

(1)若，则在线段上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．

(2)己知，若异面直线与成角，二面角的余弦值为，求的长．

Answer

（1）存在，点是线段上靠近点的一个三等分点；（2）2.

【解析】

(1) 延长，交于点，连接．通过证明及，可得M为PB上的一个三等分点，且靠近点P．

(2)建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，分别求得平面和平面的法向量，再根据二面角夹角的余弦值即可得参数t的值，进而求得CD的长．

【解析】
（1）延长，交于点，连接，则平面.

若平面，由平面平面，平面，则.

由，，则，

故点是线段上靠近点的一个三等分点.

（2）∵，，，平面，平面，

则平面

以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴、轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，

则，，，，则，，

设平面和平面的法向量分别为，.

由，得即，

令，则，故.

同理可求得.

于是，则，解之得（负值舍去），故.

∴.