Question

由a_n与S_n的关系求通项公式

（1）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式；

（2）已知正项数列的前项和满足（）.求数列的通项公式；

（3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝1，S_n＝2a_n＋1，求S_n

（4）已知正项数列中，，，前n项和为，且满足（）.求数列的通项公式；

（5）设数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n＋2a_n＝2（n∈N^*）.数列是等差数列；求数列的通项公式；

Answer

(1) ；(2) ；(3) ； (4) (5)

【解析】

(1)利用通项与前项和的关系分与时分析求解即可.

(2)利用通项与前项和的关系分与时分析求解即可

(3)根据得出关于的递推公式判断出为等比数列再求解即可.

(4)两边同乘以再化简证明当时即可.

(5)分别取,利用是等差数列求解即可.

(1)当时, ,即.

当时, …①

…②

①-②得 .

当时也满足上式.

故,

(2)由题,

当时, ,解得.

当时, …①

…②

①-②可得,化简得,

因为正项数列,故,

故是以为首项,2为公差的等差数列.

故

(3)由题,,即,故是以为首项,为公比的等比数列.故

(4)因为,即,故,

又正项数列,故,即,.

故.

(5)因为,且是等差数列.

令时有.

令时有,

故,,故,.

又是等差数列,故是以,公差的等差数列.

故,故.

又的前项积为,故当时.

故.

当时也满足.

故,