Question

分别求出满合下列条件的圆锥曲线的标准方程：

（1）离心率为，且短轴长为6的椭圆；

（2）过点，且与椭圆有相同焦点的双曲线.

Answer

（1）或； （2）.

【解析】

（1）求出，求出，然后分类讨论焦点的位置，求解椭圆方程．

（2）求出椭圆的焦点为，利用双曲线的定义求出，即可得到双曲线方程．

（1）已知短轴长为6，则，

又因为离心率为，则，

而，得，

所以椭图的标准方程为或.

（2）已知双曲线与椭圆，即有相同焦点，

所以焦点坐标为，又因为双曲线过点，

由双曲线的定义得出：

，

即，∴，

所以双曲线的标准方程为.