Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线（）与椭圆交于，两点（点在轴的上方）.

（1）若，求的面积；

（2）是否存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）存在实数，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点

【解析】

（1）由椭圆方程求得，得，由直线方程与椭圆方程联立可解得交点坐标，当然这里只要得出点的纵坐标，即可求得三角形面积；

（2）这类问题，都是假设存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，则有.设，，从而有，把直线方程与椭圆方程联立消元后可得，代入，求得值，说明存在，求不出值说明假设错误，不存在。

（1）设椭圆的半焦距为，因为，，，所以，，，

联立化简得，解得或，又点在轴的上方，所以，所以，

所以的面积为.

（2）假设存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，则有.

设，，

联立消去得，（*）

则，.

由，所以，即，

整理得，

所以，解得.

经检验时（*）中，

所以存在实数，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点.