Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P在椭圆C上，O为坐标原点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer

（1）＋＝1（2）∪

【解析】

（1）由c＝1得a2＝b2＋1，再代入P点坐标可求得a,b；

（2）设直线l的方程为y＝kx＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立消元得的一元二次方程，其判别式需大于0，由韦达定理得，条件∠AOB为锐角对应，代入后可求得的范围．

（1）由题意得c＝1，所以a2＝b2＋1，①

又点P在椭圆C上，所以＋＝1，②

由①②可解得a2＝4，b2＝3，

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

（2）设直线l的方程为y＝kx＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2＋3）x2＋16kx＋4＝0，

因为Δ＝16（12k2－3）＞0，所以k2＞，则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，所以x1x2＋（kx1＋2）（kx2＋2）＞0，

所以（1＋k2）x1x2＋2k（x1＋x2）＋4＞0，即（1＋k2）·＋2k·＋4＞0，

解得k2＜.又k2＞，所以＜k2＜，解得－＜k＜－或＜k＜.

所以直线l的斜率k的取值范围为∪