Question

已知函数

（1）若a=1，求f（x）的极值；

（2）若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）f（x）的极小值是f（1）=1，无极大值（2）

【解析】

（1）求出导数，由不等式确定增区间，由确定减区间，从而得极值；

（2）问题等价于，因此用导数研究函数的最小值，由最小值小于0可求得的范围，注意要分类讨论．

（1）a=1时，f（x）=x﹣lnx，函数f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，解得x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）的极小值是f（1）=1，无极大值；

（2）存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，等价于[f（x）﹣g（x）]min＜0，

（x∈[1，e]）成立，设h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，

则h′（x）=，令h′（x）=0，解得：x=﹣1（舍），x=1+a；

①当1+a≥e，h（x）在[1，e]递减，∴h（x）min=h（e）=e2﹣ea+1+a，

令h（x）min＜0，解得：a＞；

②当1+a＜e时，h（x）在（1，a+1）递减，在（a+1，e）递增，

∴h（x）min=h（1+a）=a[1﹣ln（a+1）]+2＞2与h（x）min＜0矛盾，

综上，a＞．