Question

设函数的定义域为，对于区间，若满足，则称区间为函数的区间.

（1）证明：区间是函数的区间；

（2）若区间是函数的区间，求实数的取值范围；

（3）已知函数在区间上的图象连续不断，且在上仅有个零点，证明：区间不是函数的区间.

Answer

（1）证明见解析（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）根据题中定义代入验证即可证出；

（2）根据题中的新定义可得，由在上单调递减，可得，只需即可求解.

（3）利用零点存在定理可得函数在上至少存在两个零点，由题意可得函数在上不存在零点，由，可得，，从而可得，结合定义即可求解.

（1）设，若，则

所以，，

取，满足定义

所以区间是函数的区间，

（2）因为区间是函数的区间，

所以使得，

因为在上单调递减，

所以，

所以，，，

故所求实数的取值范围为，

（3）因为，

所以在上存在零点，

又因为，

所以函数在上至少存在两个零点.

因为函数在区间上仅有个零点.

所以在上不存在零点.

又因为，所以，，

所以，，

即因此不存在满足，

所以区间不是函数的区间.