Question

如图，在三棱柱中，侧面是菱形，为的中点，为等腰直角三角形，，且.

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）推导出，连结，设，则，推导出,由此能证明.

（2）方法一：设与平面所成角为，点到平面的距离为,,由,求出,由此能求出与平面所成角的正弦值．

方法二:用向量法求解线面成角的正弦值, 由(1)可知面面，因为，

所以面.建立坐标系,令与平面所成角为，

可求出面的法向量为,即可求出,即与平面所成角的正弦值.

（1）证明：因为为的中点，，所以.

连接，如图（1）所示.

设，因为四边形是菱形，为的中点，，

∴.

又为等腰直角三角形，，，所以，

则.

又因为，

所以平面.

（2）法一：如图（1），令与平面所成角为，点到平面的距离为，，由（1）可知，平面.

则，

所以.

又因为，

所以易求得，

所以，

由此可得，

所以，

则，

即与平面所成角的正弦值为.

法二：由（1）可知面面，因为，

所以面.

按图（2）方式建立坐标系，令与平面所成角为，

则，，

则，

令面的法向量为，

则，

即，

即，

令，则，，

即,

即与平面所成角的正弦值为.