Question

如图,四棱锥中，，，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）见证明；（2）见解析

【解析】

（1）利用余弦定理计算BC，根据勾股定理可得BC⊥BD，结合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBD⊥平面PBC；（2）建立空间坐标系，设λ，计算平面ABM和平面PBD的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于，解方程得出λ的值,即可得解．

（1）证明：因为四边形为直角梯形，

且, ,,

所以，

又因为．根据余弦定理得

所以，故.

又因为, ,且,平面，所以平面，

又因为平面PBC，所以

（2）由（1）得平面平面,

设为的中点，连结 ，因为,

所以,,又平面平面，

平面平面，

平面.

如图，以为原点分别以，和垂直平面的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

假设存在满足要求，设，即，

所以,

易得平面的一个法向量为.

设为平面的一个法向量，，

由得，不妨取.

因为平面与平面所成的锐二面角为，所以，

解得，（不合题意舍去）.

故存在点满足条件，且.