Question

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段 的延长线上，且满足，点的轨迹为.

（1）求曲线，的极坐标方程；

（2）设点的极坐标为，求面积的最小值。

Answer

（1），；（2）2

【解析】

（1）将曲线的参数方程通过消参化为普通方程，再利用互化公式，即可求出其极坐标方程；分别设出的极坐标，利用以及极径的意义，即可求出点的轨迹的极坐标方程.

（2）在极坐标系下，结合极径以及极角的几何意义，运用三角形的面积公式建立关于面积的函数，从而求出其最小值.

（1）因为的参数方程为，

消去参数得，则一般式为，

由，可得的极坐标方程为；

设，则，

而为曲线上的动点，则，

因为点在线段 的延长线上，则设，有，

因为，

所以得，即，

所以的极坐标方程为.

（2）由（1）可知，，

边上的高为，

则，

因为，所以当时，.