Question

如图所示，在三棱柱中，为等边三角形，，，平面，是线段上靠近的三等分点.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由，故，所以四边形为菱形，再通过，证得，所以四边形为正方形，得到.

（2）根据（1）的论证，建立空间直角坐标，设平面的法向量为，由求得，再由，利用线面角的向量法公式求解.

（1）因为，故，

所以四边形为菱形，

而平面，故.

因为，故，

故，即四边形为正方形，故.

（2）依题意，.在正方形中，，

故以为原点，所在直线分别为、、轴，

建立如图所示的空间直角坐标系；

如图所示：

不纺设，

则，

又因为，所以.

所以.

设平面的法向量为，

则，

即，

令，则.于是.

又因为，

设直线与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.