Question

己知函数.

（1）当时，求证：；

（2）若函数，求证：函数存在极小值.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）求导得，由，且，得到，再利用函数在上单调递减论证.

（2）根据题意，求导，令，易知； ，易知当时，，；当时，函数单调递增，而，又，由零点存在定理得，使得，，使得，有从而得证.

（1）依题意，，

因为，且，故，

故函数在上单调递减，

故.

（2）依题意，，

令，则；

而，可知当时，，

故函数在上单调递增，故当时，；

当时，函数单调递增，而，

又，故，使得，

故，使得，即函数单调递增，即单调递增；

故当时，，

故函数在上单调递减，在上单调递增，

故当时，函数有极小值.