Question

为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在市与市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为.

（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：

	A市居民	B市居民
喜欢杨树	300	200
喜欢木棉树	250	250

是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；

（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有个路口种植杨树，求的分布列以及数学期望；

（3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为，求证：.

附：

	0.100	0.050	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer

（1）没有（2）分布列见解析，（3）证明见解析

【解析】

（1）根据公式计算卡方值，再对应卡值表判断..

（2）根据题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，分别求得概率，写出分布列，根据期望公式求值.

（3）因为至少8个的偶数个十字路口，所以，即.要证，即证，根据组合数公式，即证；易知有.成立.设个路口中有个路口种植杨树，下面分类讨论①当时，由论证.②当时，由论证.③当时，，设，再论证当 时，取得最小值即可.

（1）本次实验中，，

故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性.

（2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，4，

故，，

0

1

2

3

4

故.

（3）∵，∴.要证，即证；

首先证明：对任意，有.

证明：因为，所以.

设个路口中有个路口种植杨树，

①当时，

，

因为，所以，

于是.

②当时，，同上可得

③当时，，设，

当时，，

显然，当即时，，

当即时，，

即；，

因此，即.

综上，，即.