Question

如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．

（1）证明：平面;

（2）设，，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离．

Answer

（1）证明见解析 （2） 到平面的距离为

【解析】

试题（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离

试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO．

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．

又E为PD的中点，所以EO∥PB

又EO平面AEC，PB平面AEC

所以PB∥平面AEC．

（2）

由，可得.

作交于．

由题设易知，所以

故，

又所以到平面的距离为

法2：等体积法

由，可得.

由题设易知,得BC

假设到平面的距离为d，

又因为PB=

所以

又因为(或)，

，

所以