Question

已知函数，且函数奇函数而非偶函数.

（1）写出的单调性（不必证明）；

（2）当时，的取值范围恰为，求与的值；

（3）设是否存在实数使得函数有零点？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）当，函数在单调递增，当，函数在单调递减；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据奇偶性求出，即可分析函数的单调性；

（2）根据函数单调性，结合值域分析参数的取值；

（3）利用换元法和分离参数，结合二次函数的值域问题求解.

（1）由题：函数，且函数奇函数而非偶函数.

必有，，可得：,

即，解得或-2

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意；

由得函数定义域，

所以

当，函数在单调递增，当，函数在单调递减；

（2）由（1），，

，所以，

令，=1，，所以，

当时，，所以

由（1）函数在单调递增，

时，的取值范围恰为，必有，与题矛盾不合题意；

当时，，此时在单调递减，

所以当时，的取值范围恰为，

由题：，解得：

所以当时，的取值范围恰为，

则；

（3）即，

存在实数使得函数有零点，

即在有零点，

令，

问题转化为：在有实数根，

若显然不成立；

所以，方程变形为在有实数根，

看成函数在的值域问题，，

根据二次函数性质可得：，

所以实数m的取值范围.