Question

设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求证：直线的斜率与直线MN的斜率之积为定值．

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

(1)由题意可得，运用离心率公式和，，的关系，可得，，进而得到所求椭圆方程;

(2)由题意设，直线的方程为，联立椭圆方程，求得的坐标，再求出的坐标，由，运用斜率之积为，可以得出的值，结合即可得结果.

(1)设椭圆的半焦距为，依题意，

又，

可得，，

所以椭圆的方程为.

(2)由题意设.

设直线的斜率为，

又，则直线的方程为，

与椭圆方程联立整理得，

可得，代入得，

进而直线的斜率.

在中，令，得.

由题意得，所以直线的斜率为.

由，得，化简得.

∴.

所以直线与直线的斜率之积为定值.