Question

如图，四边形中，，分别在上，.现将四边形沿折起，使得平面平面.

（1）当时，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出点位置；若不存在，说明理由

（2）设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值.

Answer

（1）见解析；（2）当时，三棱锥的体积有最大值，最大值为3

【解析】

（1）先找到点，再证明此时平面.

（2），，体积的表达式为得到答案.

（1）存在点，使得平面，此时.

当时，，

过点作，交于点，连接，如图，则.

∵在四边形中，

∴，∴.

∵，

∴，且，故四边形为平行四边形，

∴.

∵平面平面，

∴平面.

（2）∵平面平面，平面平面，平面.

∵，∴，

故三棱锥的体积，

当时，三棱锥的体积有最大值，最大值为3