Question

有一个底面半径为3，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则a的最大值为________.

Answer

【解析】

先求圆锥内切球半径，再根据a取最大值时，四面体外接球恰为圆锥内切球，解得结果.

依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设圆心为P，球的半径为r，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示：

则，由于为等边三角形，因此P为的中心，

连接BP，则BP平分，

因为a取最大值时，四面体外接球恰为圆锥内切球，

由于四面体可以从正方形中截得，如图，当正四面体的棱长为a时，截的它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正方体的外接球就是正方形的外接球，所以

故答案为：