Question

设轴、轴正方向上的单位向量分别是，坐标平面上点列分别满足下列两个条件：①且；②且；

（1）写出及的坐标，并求出的坐标

（2）若的面积是，求的表达式

（3）对于（2）中的，是否存在最大的自然数，对一切都有成立？若存在，求出，若不存在，说明理由

Answer

（1），，.（2）（3）3

【解析】

（1）利用向量的加法运算写出和的坐标，并求出的坐标；（2）应用向量积来计算三角形的面积，即可求出的表达式；（3）用函数的单调性来算出自然数的最大值。

（1）因为，，所以.

又因为，所以

所以得出然后累加得：

，所以有

所以的坐标是，的坐标是，的坐标是.

（2）累加得：

故因为

所以

（3）

而在的情况下是单调递增,并且又是整数，所以即为的最小值.

所以