Question

函数的部分图象如图所示，点A，B，C在图象上，，，并且轴

（1）求和的值及点B的坐标；

（2）若，且，求的值；

（3）将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，再将所得图象各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，最后将所得图象向右平移个单位，得到的图象，若关于x的方程在区间上有两个不同解，求实数a的取值范围.

Answer

（1），，；（2）；（3）或.

【解析】

（1）把A，C两点的坐标代入函数解析式中，根据已知条件求出和的值，进而求出B的坐标；

（2）根据（1）所得函数的解析式，结合，可以得到的值，再根据同角的三角函数关系式求出的值，最后根据两角差的正弦公式求出的值；

（3）根据正弦型函数图象的变换规律求出函数的解析式，利用换元法，结合一元二次方程根的分布，分类讨论即可.

（1）把A， C两点坐标代入函数解析式中得：

，因为，

所以，，即函数的解析式为，

当时，函数的对称轴为：，又因为轴，所以.

（2）因为，

由（1）有，即，

由，知，

所以

故

（3）由题可知，，

令，，则，

若要使得关于x的方程在上有两个不同的根，

则关于t的方程在上只有唯一解，

所以有以下几种情况

①，解得;

②解得或，当是，，满足题意;

当时，，不符合题意，舍去.

③当时，解得，此时另一个根不在[0，1)上，所以符合题意.

综上所述a的取值范围是.