Question

定义:记为这个实数中的最小值，记为这个实数中的最大值，例如:.

（1）求证:；

（2）已知，求的最小值；

（3）若，求的最小值.

Answer

（1）见解析（2）1（3）2

【解析】

（1）作差比较的大小，再根据定义得结果；

（2）根据定义化简为一个分段函数，再分别求各段最小值，即得的最小值；

（3）先根据基本不等式得

（1）

因此；

（2）

当时，

当时，

所以，的最小值为1；

（3）（当且仅当时取等号）

因此当，即时（当且仅当时取等号）

当或，即或时，不妨设

综上，的最小值为2.