Question

已知六棱锥，底面为正六边形，点在底面的射影为其中心.将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，则当正六边形的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为__________．

Answer

【解析】

设六边形的边长为，根据题意可将正六棱锥的高表示为，进而可将体积表示为关于自变量的函数，利用导数判断函数的单调性得其最大值即可.

如图所示，设六边形的边长为，故，

又∵展开后点在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，

∴，故

∴六棱锥的体积

令，

∴，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

故当时，函数取得最大值，即体积最大，

体积最大值为，故答案为.