Question

设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁+x₂=2a时，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心.研究函数f（x）=x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为(    )

A.4035 B.﹣4035 C.8070 D.﹣8070

Answer

D

【解析】

根据代数式的结构，探究f（2﹣x）+f（x）=-4，得到函数f（x）关于（1，﹣2）对称，令S，再用倒序相加法求解.

∵f（2﹣x）+f（x）=2﹣x+sinπ（2﹣x）﹣3+x+sinπx﹣3=2﹣x﹣sinπx﹣3+x+sinπx﹣3=﹣4，

∴函数f（x）关于（1，﹣2）对称，

设S，

则f（）+f（）+…+f（）+f（）=S，

两式相加得2S=4035[f（）+f（）]=4035×（﹣4），

∴S=﹣2×4035=﹣8070，

故选：D.