Question

已知递增的等差数列的首项，且、、成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列对任意，都有成立，求的值．

（3）若，求证：数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积．

Answer

（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）根据解出公差，即可得到通项公式；

（2）当时，由①，及②，两式作差求出，即可求解；

（3）通过数列通项公式关系对数列中的任意一项，都存在和使得，即可得证.

（1）∵是递增的等差数列，设公差为

、、成等比数列，∴

由 及得

∴

（2）∵， 对都成立

当时，得

当时，由①，及②

①－②得，得

∴

∴

（3）对于给定的，若存在，使得

∵，只需，

即，即

即， 取，则

∴对数列中的任意一项，都存在和

使得