Question

已知函数，（）.

（1）若，求在上的最小值；

（2）若对于任意的实数恒成立，求的取值范围；

（3）当时，求函数在上的最小值.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用基本不等式求解最值；

（2）转化为对于任意的实数x恒成立，求参数的取值范围；

（3）函数去绝对值，等价转化为比较与的大小关系，数形结合求解.

（1）对于，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，所以.

（2）对于任意的实数x恒成立，即对于任意的实数x恒成立，亦即对于任意的实数x恒成立，

所以，即对于任意的实数x恒成立.

又对于任意的实数x恒成立，

故只需，解得，所以的取值范围为.

（3），

因为与的底数都同为e，外函数都单调递增，

所以，比较与的大小关系，只须比较与的大小关系.

令，，

，其中，.

因为，所以.

令，得，由题意可得如下图象：

（i）当，即时，，；

（ii）当，即时，，；

（iii）当，即时，，；

综上所述，.