Question

在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为（米/单位时间）,单位时间内用氧量为（为正常数）;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为（米/单位时间）, 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为.

（1）将表示为的函数;

（2）设0<≤5,试确定下潜速度,使总的用氧量最少.

Answer

（1）；

（2）当时，下潜速度为时，用氧量最小值为；

当时，，下潜速度为5时，用氧量最小值为

【解析】

试题分析:本题考查函数建模与求函数最值相关问题．（1）根据实际意义，列出在各个阶段的用氧量相加即可求出函数解析式；（2）由函数解析式，得用基本不等式和导数研究函数的最值．

试题解析：（1）潜入水底用时，用氧量为，

水底作业用氧量为

返回水面用时，用氧量为

所以．

（2）

当且仅当，即时取等号，

当即时，时，的最小值为．

当时，即时，，

因此函数在上是减函数，

所以当时，的最小值为．

综上，当时，下潜速度为时，用氧量最小值为；

当时，，下潜速度为5时，用氧量最小值为．

考点:实际应用，函数建模，求函数最值，基本不等式．