Question

已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线斜率为，且与椭圆的另一个交点为，是否存在点，使得若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

(1) (2)见解析

【解析】

（1）由题可得当为的短轴顶点时，的面积有最大值，根据椭圆的性质得到、、的方程，解方程即可得到椭圆的方程；

（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立消去，得到关于的一元二次方程，表示出根与系数的关系，即可得到的中点坐标，要使，则直线为线段的垂直平分线，利用直线垂直的关系即可得到关于的式子，再利用基本不等式即可求出的取值范围．

解（1）当为的短轴顶点时，的面积有最大值

所以，解得，故椭圆的方程为：.

（2）设直线的方程为，

将代入，得；

设，线段的中点为，

，

即

因为，所以直线为线段的垂直平分线，

所以，则，即，

所以，

当时，因为，所以，

当时，因为，所以.

综上，存在点，使得，且的取值范围为.