Question

已知.

（1）求的单调区间；

（2）当时，求证：对于，恒成立；

（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.

Answer

（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题（1）对函数求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数的单调区间.（2）构造函数，利用导数求得函数在上递减，且，则，故原不等式成立.（3）同（2）构造函数，对分成三类，讨论函数的单调性、极值和最值，由此求得的取值范围.

试题解析：

（1）

，

当时，.

解得．

当时，解得．

所以单调减区间为，

单调增区间为．

（2）设

，

当时，由题意，当时，

恒成立．

，

∴当时，恒成立，单调递减．

又，

∴当时，恒成立，即．

∴对于，恒成立．

（3）因为

．

由（2）知，当时，恒成立，

即对于，，

不存在满足条件的；

当时，对于，，

此时．

∴，

即恒成立，不存在满足条件的；

当时，令，

可知与符号相同，

当时，，，

单调递减．

∴当时，，

即恒成立．

综上，的取值范围为．