Question

如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，．

求证：平面平面PBD；

若，，，E为线段PA的中点，求二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接PO，推导出AC⊥BD，PO⊥AC．由此能证明AC⊥平面PBD，从而平面PAC⊥平面PBD．

（2）求出BD，PO．推导出PO⊥BD，PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．

如图所示，连接PO．

在菱形ABCD中，O是AC的中点，且，

，在中，．

又，PO、平面PBD，

平面PBD．

又平面PAC，平面平面

在菱形ABCD中，，，则，

又，．

在等边中，，

．

是BD的中点，，

在中，，

．

又，AC，平面ABCD，

平面

以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题知0，，1，，，0，

为线段PA的中点，，

，0，，

设y，是平面BDE的一个法向量，

则，．

设y，是平面CDE的一个法向量，

则，

   ，

由图知二面角为锐角，二面角的余弦值为